三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを1:1に内分し、点Rは辺ABを3:1に内分する。線分APと線分CRの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを1:1に内分し、点Rは辺ABを3:1に内分する。線分APと線分CRの交点をQとする。このとき、CQ:QAを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。または、面積比を利用することも可能。ここではメネラウスの定理を用いる。

まず、三角形ABＰに対して、直線ＣＲについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

BC:CP = 2:1, AR:RB = 1:3 であるから、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{PQ}{QA} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

$\frac{PQ}{QA} = \frac{3}{2}$

よって、AP:PQ = (3+2):3 = 5:3

次に、三角形BCRに対して、直線ＡＰについてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

BA:AR = (3+1):1=4:1, CP:PB = 1:1 であるから、

$\frac{4}{1} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{1}{1} = 1$

$\frac{RQ}{QC} = \frac{1}{4}$

$CQ/RQ = 4/1$

三角形ABＣに対して、直線ＣＱについてメネラウスの定理を用いると、

三角形ＡＢＣに対してチェバの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = 3$

3. 最終的な答え

CQ:QA = 3:1