与えられた6つの計算問題を解く。 (1) $(\sqrt[3]{7})^6$ (2) $8^{\frac{4}{3}}$ (3) $\log_2 64$ (4) $3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{40}$ (5) $7^{\frac{2}{3}} \times 49^{\frac{1}{6}}$ (6) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$

1. 問題の内容

与えられた6つの計算問題を解く。

(1) $(\sqrt[3]{7})^6$

(2) $8^{\frac{4}{3}}$

(3) $\log_2 64$

(4) $3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{40}$

(5) $7^{\frac{2}{3}} \times 49^{\frac{1}{6}}$

(6) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt[3]{7})^6$ の計算

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$ なので、

$(\sqrt[3]{7})^6 = (7^{\frac{1}{3}})^6 = 7^{\frac{1}{3} \times 6} = 7^2 = 49$

(2) $8^{\frac{4}{3}}$ の計算

$8 = 2^3$ なので、

$8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3 \times \frac{4}{3}} = 2^4 = 16$

(3) $\log_2 64$ の計算

$64 = 2^6$ なので、

$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

(4) $3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{40}$ の計算

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \times 5} = \sqrt[3]{2^3 \times 5} = 2\sqrt[3]{5}$ なので、

$3\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{40} = 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5}$

(5) $7^{\frac{2}{3}} \times 49^{\frac{1}{6}}$ の計算

$49 = 7^2$ なので、

$7^{\frac{2}{3}} \times 49^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{2}{3}} \times (7^2)^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{2}{6}} = 7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 7^1 = 7$

(6) $\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2$ の計算

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ と $n \log_a x = \log_a x^n$ を使う。

$\log_3 54 + \log_3 6 - 2\log_3 2 = \log_3 54 + \log_3 6 - \log_3 2^2 = \log_3 54 + \log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 (54 \times 6) - \log_3 4 = \log_3 324 - \log_3 4 = \log_3 \frac{324}{4} = \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 49

(2) 16

(3) 6

(4) $5\sqrt[3]{5}$

(5) 7

(6) 4