三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:2に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分BOと線分OQの比 $BO:OQ$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:2に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分BOと線分OQの比 $BO:OQ$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、チェバの定理の逆を利用します。

チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cからそれぞれ対辺に引いた線分AD, BE, CFが一点Oで交わるための必要十分条件は、

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

である。

今回は、点Qと点Rがそれぞれ辺ACと辺ABを1:2に内分するため、

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{1}{2}$

となります。

線分BCと線分AOの交点をDとすると、チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot 2 = 1$

$\frac{BD}{DC} = 1$

メネラウスの定理を三角形ACDと直線BQに適用すると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DO}{OA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{DO}{OB} = 1$

$BD = DC$より、$BC = 2BD$であるから。

$\frac{CB}{BD} = \frac{2BD}{BD} = 2$

よって、

$\frac{DO}{OB} = 1$

したがって、$BO = 3OQ$

$BO : OQ = 3:1$

3. 最終的な答え

$BO:OQ = 3:1$