三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:3に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分COとORの長さの比 CO : OR を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:3に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。このとき、線分COとORの長さの比 CO : OR を求める。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理またはメネラウスの定理を利用して解くことができます。ここではメネラウスの定理を使用します。

三角形ABRにおいて、直線CQについてメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

問題文から、AR:RB = 1:2, AQ:QC = 2:3であるから、AR/RB = 1/2 となります。

AQ:QC = 2:3なので、AC:CQ = (2+3):3 = 5:3となり、BC/CQは、この比の逆数となります。したがって、BC/CQ = 3/5です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

次に、三角形ACOにおいて、直線BRについてメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BO} \cdot \frac{OR}{RA} = 1$

問題文から、AQ:QC = 2:3, AR:RB = 1:2です。

$\frac{AO}{OR} = x$ とおくと、$\frac{AR}{RO}= \frac{1}{2}$から $AR=\frac{1}{3}AO$, $\frac{1}{3}AO = OR$, $\frac{AO}{OR}= \frac{3}{1} = 3$

$\frac{AR}{RO}= \frac{AO}{RO}= 3$ となります。

メネラウスの定理 $\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$ を使うのではなく、

CからABへの直線上でメネラウスの定理を使うこととする。

ABを底辺と考えると、AR:RB = 1:2

また、ACを底辺と考えると、AQ:QC = 2:3

線分BCを底辺とし、AからBCへ伸びる線に対してメネラウスの定理を適用します。

AR/RB * BO/OC * CQ/QA = 1

(1/2) * (BO/OC) * (3/2) = 1

BO/OC = 4/3

OC/BO = 3/4

CO:OB = 3:4

次に三角形ABOを考える.

メネラウスの定理より

AR/RO * OC/CB * BQ/QA = 1

(1/OR / 2) * (3/7) * (5/2)

AO/OR = xと置くと、

チェバの定理より、

(AR/RB) * (BO/OC) * (CQ/QA) = 1

(1/2) * (BO/OC) * (3/2) = 1

BO/OC = 4/3

OC/BO = 3/4

CO/BO = 3/4

COを求めるためにメネラウスの定理を使う.

ABを底辺として、R、O、Cを通る直線に関してメネラウスの定理を適用する。

AR/RB * BC/CX * XO/OA = 1

ここで、XはAB上の点です。

問題文より、OC:ORを求めること。

三角形AOCを考え、メネラウスの定理をBRに適用する。

AR/RC * CB/BO * OR/RA = 1

3. 最終的な答え

CO : OR = 6 : 1