三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、CO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、CO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、チェバの定理とメネラウスの定理、またはベクトルのいずれかを使用して解くことができます。ここでは、ベクトルを使用して解いてみます。

$\vec{AB} = \vec{b}$、$\vec{AC} = \vec{c}$とします。

点Rは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{AR} = \frac{2}{3} \vec{AB} = \frac{2}{3} \vec{b}$

点Qは辺ACを1:1に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{c}$

点Oは線分BQ上にあるので、$t$を実数として

$\vec{AO} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AQ} = (1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c}$

点Oは線分CR上にあるので、$s$を実数として

$\vec{AO} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AR} = (1-s)\vec{c} + \frac{2s}{3}\vec{b}$

したがって、

$(1-t)\vec{b} + \frac{t}{2}\vec{c} = \frac{2s}{3}\vec{b} + (1-s)\vec{c}$

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-t = \frac{2s}{3}$

$\frac{t}{2} = 1-s$

これらの式から、$t$と$s$を求めます。

$t = 2(1-s)$

$1 - 2(1-s) = \frac{2s}{3}$

$1 - 2 + 2s = \frac{2s}{3}$

$-1 + 2s = \frac{2s}{3}$

$2s - \frac{2s}{3} = 1$

$\frac{4s}{3} = 1$

$s = \frac{3}{4}$

$t = 2(1 - \frac{3}{4}) = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

$\vec{AO} = (1-s)\vec{AC} + s\vec{AR} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4} (\frac{2}{3}\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{CO} = \vec{AO} - \vec{AC} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{c}$

$\vec{OR} = \vec{AR} - \vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{b} - (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}) = \frac{1}{6}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c}$

$\vec{CO} = k \vec{OR}$とおくと

$\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{3}{4}\vec{c} = k(\frac{1}{6}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c})$

$\frac{1}{2} = \frac{k}{6}$

$-\frac{3}{4} = -\frac{k}{4}$

どちらから計算しても$k=3$となる。

したがって、CO:OR = 3:1

3. 最終的な答え

3:1