三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを2:1に内分し、点Rが辺ABを1:2に内分するとき、線分COとORの比を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを2:1に内分し、点Rが辺ABを1:2に内分するとき、線分COとORの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を利用して解きます。

三角形ABOにおいて、直線RCを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$

問題文より、$AR:RB = 1:2$、また、$AQ:QC = 2:1$なので、$AC:AQ = 3:2$。したがって、$BC:CO$を求めるため、$OQ:QA$を計算する必要がある。

まず、$AC = AQ + QC$ より、$AC = 2 + 1 = 3$

$AQ = 2$, $QC = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$

$\frac{BC}{CO} = x$とおく

$\frac{OQ}{QA} = \frac{OQ}{2}$

三角形ACOを考えると、

AOを通る直線BQがあるので、メネラウスの定理より

$\frac{AB}{BR}\cdot \frac{RO}{OC}\cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文より$AR:RB=1:2$なので、$AB=AR+RB=1+2=3$, $BR=2$

問題文より$AQ:QC=2:1$なので、$CQ=1$, $QA=2$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OC}\cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{RO}{OC} = \frac{4}{3}$

$\frac{OC}{RO} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

CO:OR = 3:4