三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC、ACをBC:CQ = 2:1、AR:RC = 3:2に内分するとき、線分BOとORの長さの比BO:ORを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺BC、ACをBC:CQ = 2:1、AR:RC = 3:2に内分するとき、線分BOとORの長さの比BO:ORを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。

三角形ACQに対して、直線BRを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

問題文より、AR:RC = 3:2、BC:CQ = 2:1なので、BC:BQ = 2:(2+1) = 2:3。したがって、CB/BQ = 2/3ではなく、CB/BQ = (2+1)/2 = 3/2となる。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{4}{9}$

したがって、AQ:QO = (9-4):4 = 5:4なので、AO:OQ = 5:4。

次に、三角形BCRに対して、直線AQを考えると、メネラウスの定理より

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

ここで、BA = BRの長さが必要なので、一旦保留。

代わりに、チェバの定理を使うことを考える。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$ （Pは線分AOと辺BCの交点）

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{4}{3}$

次に、メネラウスの定理を使ってBO:ORを求める。

三角形ACQに対して、直線BRを考えると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{4}{9}$

よって、AQ:QO = (9 - 4):4 = 5:4

ここで、三角形CBQに対して、直線ARを考えると、

$\frac{CR}{RA} \cdot \frac{AO}{OQ} \cdot \frac{QB}{BC} = 1$ではない。

三角形ABQに対して、直線CRを考えると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{BQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{2}{AQ} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = \frac{2}{1} = 2$なので$BC = 2$、$CQ = 1$。

よって、$\frac{CB}{BQ} = \frac{3}{2}$となる。

三角形ACQに対して、直線BRを適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$より、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$となり、$\frac{QO}{OA} = \frac{4}{9}$

$AQ = AO + OQ = 9+4 = 13$。

$\frac{OB}{CO} = \frac{AR \cdot BQ}{RC \cdot AQ} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot QA} = \frac{6}{2 \cdot QA} = \frac{3}{QA}$

$BO/OR$を求める。

$\frac{BO}{OR} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

BO:OR = 5:4