三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを2:1に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとする。このとき、CO:OQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを3:2に内分し、点Rは辺BCを2:1に内分する。線分ARと線分CQの交点をOとする。このとき、CO:OQを求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$3 \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{1}{3}$

よって、PはCAを1:3に内分する点である。

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線CQに適用する。

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{9}$

よって、$AR:RO = 11:2$となる。

次に、メネラウスの定理を三角形BCQと直線ARに適用する。

$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OC} \cdot \frac{CR}{RB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{5}{6} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{QO}{OC} = \frac{6}{5}$

よって、$CO:OQ = 5:6$となる。

3. 最終的な答え

CO:OQ = 5:6