次の不等式と方程式を解きます。 (1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$ (2) $4^{2x} + 4^{x+1} - 12 = 0$

1. 問題の内容

次の不等式と方程式を解きます。

(1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$

(2) $4^{2x} + 4^{x+1} - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{8}$ を解きます。

$\frac{1}{8}$ を $\frac{1}{2}$ の累乗で表すと、$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ となります。

したがって、不等式は $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^3$ となります。

底が $\frac{1}{2}$ であり、これは1より小さいので、指数関数の大小関係は逆になります。

よって、$x < 3$ となります。

(2) 方程式 $4^{2x} + 4^{x+1} - 12 = 0$ を解きます。

$4^{2x} = (4^x)^2$、 $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 = 4 \cdot 4^x$ なので、

方程式は $(4^x)^2 + 4 \cdot 4^x - 12 = 0$ と書き換えられます。

$t = 4^x$ とおくと、$t^2 + 4t - 12 = 0$ となります。

この2次方程式を解くと、

$(t+6)(t-2) = 0$ より、$t = -6, 2$ となります。

$t = 4^x$ なので、$4^x = -6$ または $4^x = 2$ となります。

$4^x > 0$ なので、$4^x = -6$ は解なしです。

$4^x = 2$ より、$(2^2)^x = 2$ なので、$2^{2x} = 2^1$ となります。

したがって、$2x = 1$ より、$x = \frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x < 3$

(2) $x = \frac{1}{2}$