三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを、点Rは辺ABをそれぞれ図に示された比に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比 CO:OR を求める。図から、AR:RB = 3:2, AQ:QC = 3:1 であることがわかる。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを、点Rは辺ABをそれぞれ図に示された比に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比 CO:OR を求める。図から、AR:RB = 3:2, AQ:QC = 3:1 であることがわかる。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理を利用して解くことができる。三角形ABOにおいて、直線RCが辺を横切っていると考えると、メネラウスの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

が成り立つ。ここで、BC = BQ + QC であり、AQ:QC = 3:1 より、QC = (1/3)AQ である。また、BC = BQ+QC を使う代わりに、$\frac{BC}{CO}$ の部分を、$\frac{BQ+QC}{CO}$と考えても良い。しかし今回はメネラウスの定理の応用として、ベクトルを利用した解法を示す。

点Aを始点とする位置ベクトルを考える。$\vec{a} = \vec{AA} = \vec{0}$, $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$ とする。点R, Qの位置ベクトルはそれぞれ、

$$\vec{r} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{b}$$

$$\vec{q} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{c}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{c}$$

直線BQと直線CRの交点Oは、BQ上の点であり、CR上の点でもあるので、

$$\vec{o} = (1-s)\vec{b} + s\vec{q} = (1-t)\vec{c} + t\vec{r}$$

と表せる。

$$(1-s)\vec{b} + s(\frac{3}{4}\vec{c}) = (1-t)\vec{c} + t(\frac{3}{5}\vec{b})$$

$\vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、

$$1-s = \frac{3}{5}t, \quad \frac{3}{4}s = 1-t$$

この連立方程式を解くと、

$$s = \frac{8}{21}, \quad t = \frac{35}{63} = \frac{5}{9}$$

よって、

$$\vec{o} = (1-\frac{8}{21})\vec{b} + \frac{8}{21} \cdot \frac{3}{4} \vec{c} = \frac{13}{21}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c} = \frac{4}{7}\vec{c} + \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5}\vec{b}$$

$$\vec{o} = \frac{13}{21}\vec{b} + \frac{2}{7}\vec{c}$$

CO:ORを求める。$\vec{CO} = \vec{AO} - \vec{AC}$より、点Oは直線CR上にあるので、

$$\vec{o} = (1-x)\vec{c} + x \vec{r} = (1-x)\vec{c} + \frac{3x}{5} \vec{b}$$

ここで係数比較をすると、$1-x = \frac{2}{7}$より $x = \frac{5}{7}$となる。

$$\vec{o} = \frac{2}{7}\vec{c} + \frac{3}{7}\vec{b}$$

直線CO上の点Oは、 $\vec{o} = k\vec{CO} = k(\vec{AO}-\vec{AC})$と書ける。

この時、$Q,O,R$は同一直線状にあるので、$CO:OR = (1-s):s$とおくと、

$\vec{o} = s \vec{c} + (1-s) \frac{3}{5}\vec{b}$となる。

比較して、$s=2/7$より$1-s=5/7$だから、$CO:OR = 5:2$

3. 最終的な答え

CO:OR = 5:2