全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ と $B = \{1, 2, 3, 6\}$ について、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A \cup B}$ (6) $\overline{A \cap B}$ (7) $A \cap \overline{B}$ (8) $A \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ と $B = \{1, 2, 3, 6\}$ について、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A \cup B}$

(6) $\overline{A \cap B}$

(7) $A \cap \overline{B}$

(8) $A \cap B$

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。同様に、$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = \{4, 5, 7, 8, 9\}$

次に、それぞれの集合演算を行います。

(3) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の共通部分です。つまり、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 3\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。つまり、$\overline{A}$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{4, 5, 7, 8, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A \cup B}$ を求める前に、$A \cup B$ を求めます。$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合です。つまり、$A$ または $B$ に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} = \{5, 7, 9\}$

(6) $\overline{A \cap B}$ を求める前に、$A \cap B$ を求めます。$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{2, 6\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 6\} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

(7) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。つまり、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{4, 5, 7, 8, 9\} = \{4, 8\}$

(8) $A \cap B$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分です。つまり、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{2, 6\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(2) $\overline{B} = \{4, 5, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{1, 3\}$

(4) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

(5) $\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9\}$

(6) $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

(7) $A \cap \overline{B} = \{4, 8\}$

(8) $A \cap B = \{2, 6\}$