$a$ を定数とする。2次方程式 $3x^2 - 2ax - a^2 + 8 = 0$ の解の種類を $a$ の値によって判別する。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次方程式 $3x^2 - 2ax - a^2 + 8 = 0$ の解の種類を $a$ の値によって判別する。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式の判別式 $D$ を計算する。

$D = (-2a)^2 - 4(3)(-a^2 + 8) = 4a^2 + 12a^2 - 96 = 16a^2 - 96$.

判別式 $D$ の符号によって解の種類が決定される。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

* $D = 0$ のとき、重解をもつ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

$D = 16a^2 - 96 = 16(a^2 - 6)$ であるから、

* $a^2 - 6 > 0 \Leftrightarrow a^2 > 6 \Leftrightarrow a < -\sqrt{6}$ または $\sqrt{6} < a$ のとき、異なる2つの実数解をもつ。

* $a^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 6 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{6}$ のとき、重解をもつ。

* $a^2 - 6 < 0 \Leftrightarrow a^2 < 6 \Leftrightarrow -\sqrt{6} < a < \sqrt{6}$ のとき、異なる2つの虚数解をもつ。

したがって、

ア: 6

ウ: 6

オ: 6

$a < -\sqrt{6}, \sqrt{6} < a$ のとき、異なる2つの実数解をもつので、イ: 1

$a = \pm \sqrt{6}$ のとき、重解をもつので、エ: 2

$-\sqrt{6} < a < \sqrt{6}$ のとき、異なる2つの虚数解をもつので、カ: 3

3. 最終的な答え

ア: 6

イ: 1

ウ: 6

エ: 2

オ: 6

カ: 3