2次式 $3x^2 + 4x + 5$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次式 $3x^2 + 4x + 5$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次式 $3x^2 + 4x + 5$ の解を求める。

まず、$3x^2 + 4x + 5 = 0$ という2次方程式を解く。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使う。

この場合、$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ である。

解の公式に代入すると、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{-44}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{-11}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-11}}{3} = \frac{-2 \pm \sqrt{11}i}{3}$

よって、$x = \frac{-2 + \sqrt{11}i}{3}$ と $x = \frac{-2 - \sqrt{11}i}{3}$ が解である。

これらの解を用いて因数分解すると、

$3x^2 + 4x + 5 = 3\left(x - \frac{-2 + \sqrt{11}i}{3}\right)\left(x - \frac{-2 - \sqrt{11}i}{3}\right) = 3\left(x + \frac{2 - \sqrt{11}i}{3}\right)\left(x + \frac{2 + \sqrt{11}i}{3}\right)$

3. 最終的な答え

カ = 3

キ = 2

クケ = 11

したがって、

$3x^2 + 4x + 5 = 3\left(x + \frac{2 - \sqrt{11}i}{3}\right)\left(x + \frac{2 + \sqrt{11}i}{3}\right)$