$x, y$ が4つの不等式 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + 5y \le 9$, $3x + 2y \le 8$ を満たすとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求め、$x, y$ の値と対応する最大値、最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ が4つの不等式 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $2x + 5y \le 9$, $3x + 2y \le 8$ を満たすとき、$x + 2y$ の最大値と最小値を求め、$x, y$ の値と対応する最大値、最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式から領域を求めます。

$x \ge 0$, $y \ge 0$ なので、領域は第一象限にあります。

$2x + 5y \le 9$ と $3x + 2y \le 8$ の境界線をそれぞれ $2x + 5y = 9$, $3x + 2y = 8$ とします。

それぞれの不等式が表す領域は、境界線よりも下側です。

次に、$2x + 5y = 9$ と $3x + 2y = 8$ の交点を求めます。

連立方程式を解くと

$2(2x + 5y) = 2(9) \implies 4x + 10y = 18$

$5(3x + 2y) = 5(8) \implies 15x + 10y = 40$

2つの式を引き算すると

$11x = 22$

$x = 2$

$2(2) + 5y = 9$

$4 + 5y = 9$

$5y = 5$

$y = 1$

したがって、交点は $(2, 1)$ です。

領域の頂点は $(0, 0)$, $(8/3, 0)$, $(0, 9/5)$, $(2, 1)$ となります。

$z = x + 2y$ とおきます。

各頂点における $z$ の値を計算します。

$(0, 0)$ のとき $z = 0 + 2(0) = 0$

$(8/3, 0)$ のとき $z = 8/3 + 2(0) = 8/3$

$(0, 9/5)$ のとき $z = 0 + 2(9/5) = 18/5$

$(2, 1)$ のとき $z = 2 + 2(1) = 4$

$8/3 = 2.666...$

$18/5 = 3.6$

したがって、$z$ の最大値は 4 で、最小値は 0 です。

3. 最終的な答え

x = 2, y = 1 のとき 最大値 4

x = 0, y = 0 のとき 最小値 0