90℃のお湯を10℃の部屋に置いたとき、$t$分後のお湯の温度$T$℃について、$T-10 = C \cdot 10^{-kt}$ ($C$, $k$は正の定数)という関係式が成り立つ。 (1) 定数$C$の値を求める。 (2) 24分後に温度が35℃になったとき、温度が20℃になるのは部屋に置いてから何分後かを、小数第1位を四捨五入して整数で求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$とする。

1. 問題の内容

90℃のお湯を10℃の部屋に置いたとき、$t$分後のお湯の温度$T$℃について、$T-10 = C \cdot 10^{-kt}$ ($C$, $k$は正の定数)という関係式が成り立つ。

(1) 定数$C$の値を求める。

(2) 24分後に温度が35℃になったとき、温度が20℃になるのは部屋に置いてから何分後かを、小数第1位を四捨五入して整数で求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、$t=0$のとき、$T=90$であるから、与えられた関係式に代入すると、

$90 - 10 = C \cdot 10^{-k \cdot 0}$

$80 = C \cdot 10^0$

$80 = C \cdot 1$

したがって、$C = 80$。

(2) $T-10 = 80 \cdot 10^{-kt}$に$t=24$のとき$T=35$を代入すると、

$35 - 10 = 80 \cdot 10^{-24k}$

$25 = 80 \cdot 10^{-24k}$

$10^{-24k} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} (10^{-24k}) = \log_{10} \frac{5}{16}$

$-24k = \log_{10} 5 - \log_{10} 16$

$-24k = \log_{10} \frac{10}{2} - \log_{10} 2^4$

$-24k = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 - 4 \log_{10} 2$

$-24k = 1 - \log_{10} 2 - 4 \log_{10} 2$

$-24k = 1 - 5 \log_{10} 2$

$-24k = 1 - 5(0.3010)$

$-24k = 1 - 1.505$

$-24k = -0.505$

$k = \frac{0.505}{24} = \frac{505}{24000} = \frac{101}{4800}$

次に、$T=20$となる$t$を求める。

$20 - 10 = 80 \cdot 10^{-kt}$

$10 = 80 \cdot 10^{-kt}$

$10^{-kt} = \frac{10}{80} = \frac{1}{8}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} (10^{-kt}) = \log_{10} \frac{1}{8}$

$-kt = \log_{10} 1 - \log_{10} 8$

$-kt = 0 - \log_{10} 2^3$

$-kt = -3 \log_{10} 2$

$kt = 3 \log_{10} 2$

$t = \frac{3 \log_{10} 2}{k} = \frac{3(0.3010)}{\frac{101}{4800}} = \frac{0.9030 \cdot 4800}{101} = \frac{4334.4}{101} \approx 42.91485$

小数第1位を四捨五入すると、43分。

3. 最終的な答え

(1) $C=80$

(2) 43分