円Oにおいて、ATは円の接線であり、角ABCは31度である。このとき、角x（角CAT）の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ATは円の接線であり、角ABCは31度である。このとき、角x（角CAT）の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、弧ACに対する円周角である角ABCと角ATCは等しい。

したがって、角ATCは31度である。

接線ATは半径OAと直交するので、角OATは90度である。

三角形OACはOA=OCより二等辺三角形なので、角OACと角OCAは等しい。

角AOCは中心角であり、角ABCの2倍の大きさなので、

$角AOC = 2 \times 31度 = 62度$

三角形OACにおいて、角OAC + 角OCA + 角AOC = 180度であるから、

$角OAC + 角OAC + 62度 = 180度$

$2 \times 角OAC = 118度$

$角OAC = 59度$

角OAT = 90度であり、角CAT (x) = 角OAT - 角OAC であるから、

$x = 90度 - 59度 = 31度$

別の解き方として、接弦定理を利用することができます。接弦定理より、角CAT = 角ABCとなります。したがって、$x = 31$度となります。

3. 最終的な答え

31度