(1) 一辺が3cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABとねじれの位置にある辺を求める。選択肢は、①辺AE、②辺CD、③辺EF、④辺EH、⑤辺GHである。 (2) 辺ABと平行な面、及び辺ABと垂直な面を、①面ABFE、②面BFGC、③面CGHDから選ぶ。 (3) 対角線AGの長さを求める。 (4) 底面の半径が2cm、母線の長さが9cmの円錐の展開図において、おうぎ形OABの中心角と円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 一辺が3cmの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABとねじれの位置にある辺を求める。選択肢は、①辺AE、②辺CD、③辺EF、④辺EH、⑤辺GHである。

(2) 辺ABと平行な面、及び辺ABと垂直な面を、①面ABFE、②面BFGC、③面CGHDから選ぶ。

(3) 対角線AGの長さを求める。

(4) 底面の半径が2cm、母線の長さが9cmの円錐の展開図において、おうぎ形OABの中心角と円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 辺ABとねじれの位置にある辺とは、平行でなく、交わらない辺である。立方体の図を見ると、辺CD、辺EF、辺GHが辺ABとねじれの位置にある。

(2) 辺ABと平行な面は面CGHDである。辺ABと垂直な面は面ABFE、面BFGCである。

(3) 対角線AGの長さを求める。立方体の一辺の長さが3cmなので、対角線ACの長さは三平方の定理より $AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ となる。次に、直角三角形ACGにおいて、AGの長さを三平方の定理を用いて計算する。

$AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{18 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ cm。

(4)

(1) 中心角の大きさを求める。おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と等しい。底面の円周は $2\pi r = 2\pi (2) = 4\pi$ cmである。

おうぎ形の弧の長さは $2\pi R \times \frac{中心角}{360^\circ}$ であり、Rは母線の長さなので9cmである。よって、

$4\pi = 2\pi (9) \times \frac{中心角}{360^\circ}$

$4 = 18 \times \frac{中心角}{360}$

$\frac{4}{18} = \frac{中心角}{360}$

中心角 = $\frac{4}{18} \times 360 = 4 \times 20 = 80^\circ$

(2) 円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、側面積 + 底面積で求められる。

側面積 = $\pi r l$ （r：底面の半径、l：母線の長さ）= $\pi (2)(9) = 18\pi$ cm$^2$

底面積 = $\pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi$ cm$^2$

表面積 = $18\pi + 4\pi = 22\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2

(2) イ: 3, ウ: 1,2

(3) エ: 3, オ: 3

(4) カキ: 80

(5) クケ: 22