底面の半径が2cm、母線の長さが9cmの円錐の展開図が与えられている。(1)おうぎ形OABの中心角の大きさを求める。(2)円錐の表面積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が2cm、母線の長さが9cmの円錐の展開図が与えられている。(1)おうぎ形OABの中心角の大きさを求める。(2)円錐の表面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)おうぎ形の中心角を求める。

円錐の底面の円周の長さは $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ cm。

おうぎ形の弧の長さは、円錐の底面の円周の長さに等しい。

おうぎ形の弧の長さは $2 \pi R \times \frac{中心角}{360}$で求められる。ここで、$R$ はおうぎ形の半径（母線の長さ）を表す。

したがって、$4 \pi = 2 \pi (9) \times \frac{中心角}{360}$。

$\frac{4}{18} = \frac{中心角}{360}$

中心角 $= \frac{4}{18} \times 360 = 4 \times 20 = 80$ 度。

(2)円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められる。

底面積は $\pi r^2 = \pi (2^2) = 4 \pi$ cm$^2$。

側面積はおうぎ形の面積に等しい。おうぎ形の面積は$\pi R^2 \times \frac{中心角}{360}$で求められる。

側面積 $= \pi (9^2) \times \frac{80}{360} = \pi (81) \times \frac{2}{9} = 9 \pi \times 2 = 18 \pi$ cm$^2$。

表面積 = 底面積 + 側面積 = $4 \pi + 18 \pi = 22 \pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

(1) おうぎ形OABの中心角の大きさは 80 度。

(2) この円錐の表面積は $22 \pi$ cm$^2$。