三角形ABCにおいて、点Oが外心である。$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 45^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oが外心である。$\angle BAC = 70^\circ$、$\angle ABO = 45^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* 点Oは$\triangle ABC$の外心なので、$OA = OB = OC$である。

* $\triangle OAB$は$OA = OB$の二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = 45^\circ$である。

* $\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 70^\circ - 45^\circ = 25^\circ$である。

* $\triangle OAC$は$OA = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 25^\circ$である。

* $\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$である。（円周角の定理より）

* $\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO$であり、$\angle OCB = \angle ACB - \angle OCA$である。

* $\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$である。

* $\angle ACB = 110^\circ - \angle ABC = 110^\circ - (\angle ABO + \angle OBC) = 110^\circ - (45^\circ + \angle OBC)$

* 三角形の内角の和より$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$だから$\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

* $\angle P = \angle OCA = 25^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle P = 25^\circ$