与えられた極限を計算する問題です。問題は以下の通りです。 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。問題は以下の通りです。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

したがって、与えられた極限は

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n$

となります。

次に、指数関数と対数関数を使って変形します。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} e^{n \ln(\frac{n}{n+1})} = e^{\lim_{n \to \infty} n \ln(\frac{n}{n+1})}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} n \ln(\frac{n}{n+1}) = \lim_{n \to \infty} n \ln(\frac{n}{n+1}) = \lim_{n \to \infty} n \ln(\frac{n+1-1}{n+1}) = \lim_{n \to \infty} n \ln(1 - \frac{1}{n+1})$

$\frac{1}{n+1}$は、$n \to \infty$のとき、$0$に近づくので、$\ln(1+x) \approx x$（$x \approx 0$のとき）という近似を使えます。

$\lim_{n \to \infty} n \ln(1 - \frac{1}{n+1}) = \lim_{n \to \infty} n (-\frac{1}{n+1}) = \lim_{n \to \infty} -\frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = -1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n = e^{\lim_{n \to \infty} n \ln(\frac{n}{n+1})} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$