正四角錐O-ABCDが与えられています。Eは底面ABCDの対角線の交点です。 (1) 正四角錐O-ABCDの高さOEを求めます。 (2) 正四角錐O-ABCDの体積を求めます。

1. 問題の内容

正四角錐O-ABCDが与えられています。Eは底面ABCDの対角線の交点です。

(1) 正四角錐O-ABCDの高さOEを求めます。

(2) 正四角錐O-ABCDの体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

底面は正方形なので、対角線ACの長さは、ABが4cmなので、$AC = 4\sqrt{2}$ cmです。

Eは対角線の交点なので、$AE = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ cmです。

直角三角形OAEにおいて、OA = 6 cm, AE = $2\sqrt{2}$ cmであり、ピタゴラスの定理より、

$OE^2 + AE^2 = OA^2$

$OE^2 = OA^2 - AE^2 = 6^2 - (2\sqrt{2})^2 = 36 - 8 = 28$

$OE = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$ cm

(2)

正四角錐の体積は、$V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$で求められます。

底面積は正方形ABCDなので、$4^2 = 16$ cm$^2$です。

高さはOE、$2\sqrt{7}$ cmです。

したがって、体積は、

$V = \frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{7} = \frac{32\sqrt{7}}{3}$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) $OE = 2\sqrt{7}$ cm

(2) 体積は$\frac{32\sqrt{7}}{3}$ cm$^3$