2つの放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

## 問題35

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ と $y = x^2 + ax + b$ の頂点が一致するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点を求める。平方完成を行う。

$y = 2(x^2 - 4x) + 9$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9$

$y = 2((x - 2)^2 - 4) + 9$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 9$

$y = 2(x - 2)^2 + 1$

したがって、$y = 2x^2 - 8x + 9$ の頂点は $(2, 1)$ である。

次に、$y = x^2 + ax + b$ の頂点を求める。平方完成を行う。

$y = x^2 + ax + b$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + b$

$y = (x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} + b$

したがって、$y = x^2 + ax + b$ の頂点は $(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b)$ である。

2つの放物線の頂点が一致するので、以下の連立方程式が成り立つ。

$-\frac{a}{2} = 2$

$-\frac{a^2}{4} + b = 1$

1つ目の式から、

$a = -4$

これを2つ目の式に代入する。

$-\frac{(-4)^2}{4} + b = 1$

$-\frac{16}{4} + b = 1$

$-4 + b = 1$

したがって、

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = 5$