無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$

両辺に $n(n+1)$ を掛けると、

$1 = A(n+1) + Bn$

$1 = (A+B)n + A$

よって、$A+B = 0$ かつ $A = 1$ となります。

したがって、$A = 1$、$B = -1$ であるから、

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

次に、第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

最後に、無限級数の値を求めます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$