三角形の図が3つ与えられています。それぞれについて、指定された辺の長さを求めます。 (1) では、$\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $AC = \sqrt{2}$ のとき、$AB = c$ を求めます。 (2) では、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $AC = \sqrt{6}$ のとき、$BC = a$ を求めます。 (3) では、$\angle A = 105^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $AB = 4$ のとき、$AC = b$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形の図が3つ与えられています。それぞれについて、指定された辺の長さを求めます。

(1) では、$\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $AC = \sqrt{2}$ のとき、$AB = c$ を求めます。

(2) では、$\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 120^\circ$, $AC = \sqrt{6}$ のとき、$BC = a$ を求めます。

(3) では、$\angle A = 105^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $AB = 4$ のとき、$AC = b$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用いて $c$ を求めます。まず、$\angle A = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ です。正弦定理より、

$\frac{c}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$c = \frac{\sqrt{2} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

(2) 正弦定理を用いて $a$ を求めます。$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$ です。正弦定理より、

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$a = \frac{\sqrt{6} \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$

(3) 正弦定理を用いて $b$ を求めます。$\angle B = 180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$ です。正弦定理より、

$\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\sin 30^\circ}$

$b = \frac{4 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $c = \sqrt{3}$

(2) $a = \sqrt{2}$

(3) $b = 4\sqrt{2}$