2次関数 $y=x^2+(a-3)x-2a+3$ のグラフが x 軸と共有点を持たないとき、a の取り得る値の範囲を求める。

## 数学の問題の解答

以下、画像にある問題（7, 8, 9, 10, 11）について解答します。

### 問題(7)

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2+(a-3)x-2a+3$ のグラフが x 軸と共有点を持たないとき、a の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数が x 軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D = (a-3)^2 - 4(1)(-2a+3)$ を計算する。

$D = (a-3)^2 - 4(-2a+3) = a^2 - 6a + 9 + 8a - 12 = a^2 + 2a - 3$

$a^2 + 2a - 3 < 0$ を解く。

$(a+3)(a-1) < 0$

よって、$-3 < a < 1$

3. 最終的な答え

$-3 < a < 1$

### 問題(8)

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan \theta = -3$ のとき、$\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = -3$ より、$\theta$ は鈍角であることがわかる。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係を利用する。

$1 + (-3)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$10 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\theta$ は鈍角なので、$\cos \theta < 0$ である。

よって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

### 問題(9)

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ で、BC = 7, CA = 3, $\angle A = 60^\circ$ のとき、AB の長さと $\sin C$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos A$

$7^2 = AB^2 + 3^2 - 2 \cdot AB \cdot 3 \cos 60^\circ$

$49 = AB^2 + 9 - 6 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 - 3AB - 40 = 0$

$(AB - 8)(AB + 5) = 0$

$AB > 0$ より、$AB = 8$

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin C}$

$\sin C = \frac{8 \sin 60^\circ}{7} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$AB = 8$, $\sin C = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

### 問題(10)

1. 問題の内容

$AB = 4, CA = 2, \angle BAC = 135^\circ$ である $\triangle ABC$ の面積と、$\angle BAD = 45^\circ$ となるような点 D を辺 BC 上にとるとき、AD の長さを求める。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \sin 135^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

$\angle BAD = 45^\circ$ より、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$

$\triangle ABD$と$\triangle ADC$の面積の和が$\triangle ABC$の面積に等しいことを用いる。

$\triangle ABD$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \sin 45^\circ$

$\triangle ADC$の面積 = $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \sin 90^\circ$

$2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot AD \cdot 1$

$2\sqrt{2} = AD \cdot \sqrt{2} + AD$

$AD = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 4 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$の面積 = $2\sqrt{2}$, $AD = 4 - 2\sqrt{2}$

### 問題(11)

1. 問題の内容

次のデータの標準偏差を求める。

7, 9, 9, 10, 9, 4

2. 解き方の手順

まず、平均 $\bar{x}$ を求める。

$\bar{x} = \frac{7+9+9+10+9+4}{6} = \frac{48}{6} = 8$

次に、各データの偏差 $(x_i - \bar{x})$ を求める。

7-8 = -1, 9-8 = 1, 9-8 = 1, 10-8 = 2, 9-8 = 1, 4-8 = -4

次に、偏差の二乗 $(x_i - \bar{x})^2$ を求める。

1, 1, 1, 4, 1, 16

次に、偏差の二乗の平均（分散）を求める。

$s^2 = \frac{1+1+1+4+1+16}{6} = \frac{24}{6} = 4$

最後に、標準偏差 s を求める。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

標準偏差 = 2