$a, b, c$ をそれぞれ1桁の数とする。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと3桁の数 $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと3桁の数 $bca_{(5)}$ になる数を10進法で表す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ をそれぞれ1桁の数とする。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと3桁の数 $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと3桁の数 $bca_{(5)}$ になる数を10進法で表す。

2. 解き方の手順

$abc_{(7)}$ を10進法で表すと $a \times 7^2 + b \times 7^1 + c \times 7^0 = 49a + 7b + c$

$bca_{(5)}$ を10進法で表すと $b \times 5^2 + c \times 5^1 + a \times 5^0 = 25b + 5c + a$

問題文より、

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a = 18b + 4c$

$24a = 9b + 2c$

$a, b, c$ は1桁の数なので、$0 \le a \le 6$, $0 \le b \le 4$, $0 \le c \le 4$ を満たす。

$24a = 9b + 2c$ より、$24a \le 9 \times 4 + 2 \times 4 = 36 + 8 = 44$ なので、$a \le \frac{44}{24} < 2$ となり、$a$ は整数なので、$a = 0$ または $a = 1$ である。

$a = 0$ のとき、$0 = 9b + 2c$ となるので、$b = 0, c = 0$ となる。しかし、これは3桁の数ではないので不適。

$a = 1$ のとき、$24 = 9b + 2c$ となる。

$2c = 24 - 9b$ より、$2c$ は偶数なので、$9b$ も偶数である。したがって、$b$ は偶数である。

$b = 0$ のとき、$2c = 24$ より $c = 12$ となるが、$c \le 4$ より不適。

$b = 2$ のとき、$2c = 24 - 9 \times 2 = 24 - 18 = 6$ より $c = 3$ となる。これは条件を満たす。

$b = 4$ のとき、$2c = 24 - 9 \times 4 = 24 - 36 = -12$ となるが、$c \ge 0$ より不適。

したがって、$a = 1, b = 2, c = 3$ である。

求める10進数は、$49a + 7b + c = 49 \times 1 + 7 \times 2 + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

3. 最終的な答え

66