(1) 50以下の自然数全体の集合をUとし、Uの部分集合で、2の倍数全体の集合をA、5の倍数全体の集合をBとするとき、$n(A)$、$n(A \cap B)$、$n(A \cup B)$、$n(A \cap \bar{B})$を求める。 (2) 線分ABを2:1に内分する点をC, 2:1に外分する点をDとする。AB=6cmのとき、AC, BD, CDの長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 50以下の自然数全体の集合をUとし、Uの部分集合で、2の倍数全体の集合をA、5の倍数全体の集合をBとするとき、$n(A)$、$n(A \cap B)$、$n(A \cup B)$、$n(A \cap \bar{B})$を求める。

(2) 線分ABを2:1に内分する点をC, 2:1に外分する点をDとする。AB=6cmのとき、AC, BD, CDの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $n(A)$: 50以下の2の倍数の個数。$50 \div 2 = 25$なので、$n(A) = 25$

* $n(B)$: 50以下の5の倍数の個数。$50 \div 5 = 10$なので、$n(B) = 10$

* $n(A \cap B)$: 2の倍数かつ5の倍数の個数。つまり10の倍数の個数。$50 \div 10 = 5$なので、$n(A \cap B) = 5$

* $n(A \cup B)$: $n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 25 + 10 - 5 = 30$

* $n(A \cap \bar{B})$: 2の倍数であるが5の倍数でないものの個数。$n(A) - n(A \cap B) = 25 - 5 = 20$

(2)

* ACの長さ: ABを2:1に内分するので、$AC = \frac{2}{2+1} AB = \frac{2}{3} \times 6 = 4$ cm

* BDの長さ: ABを2:1に外分するので、$AD = 2AB = 2 \times 6 = 12$ cm。$BD = AD - AB = 12 - 6 = 6$ cm

* CDの長さ: $CD = AD - AC = 12 - 4 = 8$ cm

3. 最終的な答え

(1)

$n(A) = 25$

$n(A \cap B) = 5$

$n(A \cup B) = 30$

$n(A \cap \bar{B}) = 20$

(2)

$AC = 4$ cm

$BD = 6$ cm

$CD = 8$ cm