3つの三角形について、指定された辺の長さを求めます。 (1) 辺の長さが5, 8で、挟む角が60°の三角形において、残りの辺bの長さを求める。 (2) 辺の長さが$4\sqrt{3}$, 7で、挟む角が30°の三角形において、残りの辺aの長さを求める。 (3) 辺の長さが$3\sqrt{2}$, 2で、挟む角の対角が45°の三角形において、残りの辺cの長さを求める。

1. 問題の内容

3つの三角形について、指定された辺の長さを求めます。

(1) 辺の長さが5, 8で、挟む角が60°の三角形において、残りの辺bの長さを求める。

(2) 辺の長さが$4\sqrt{3}$, 7で、挟む角が30°の三角形において、残りの辺aの長さを求める。

(3) 辺の長さが$3\sqrt{2}$, 2で、挟む角の対角が45°の三角形において、残りの辺cの長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて各辺の長さを求めます。

(1) 余弦定理より、

$b^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$b^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$b^2 = 89 - 40 = 49$

$b = \sqrt{49} = 7$

(2) 余弦定理より、

$a^2 = (4\sqrt{3})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 7 \cdot \cos 30^\circ$

$a^2 = 16 \cdot 3 + 49 - 56\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 48 + 49 - 28 \cdot 3 = 97 - 84 = 13$

$a = \sqrt{13}$

(3) 余弦定理より、

$(3\sqrt{2})^2 = c^2 + 2^2 - 2 \cdot c \cdot 2 \cdot \cos 45^\circ$

$18 = c^2 + 4 - 4c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 - 2\sqrt{2} c - 14 = 0$

解の公式を用いて、

$c = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(1)(-14)}}{2}$

$c = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 + 56}}{2}$

$c = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{64}}{2}$

$c = \frac{2\sqrt{2} \pm 8}{2} = \sqrt{2} \pm 4$

cは正の値なので、

$c = 4 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 7$

(2) $a = \sqrt{13}$

(3) $c = 4 + \sqrt{2}$