(1) A, B, C, D, E の5人が横一列に並ぶ並び方の総数と、5人が円形のテーブルに座るときの座り方の総数を求める。 (2) 正六角形の対角線の本数を求める。 (3) 赤玉4個、白玉3個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉2個が取り出される確率を求める。 (4) 1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、その番号が2の倍数または3の倍数である確率を求める。 (5) AB=3, CA=5である△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、BD:DC を求める。 (6) 右の図において、PA=3, PB=6, PC=2であるとき、PD を求める。 (7) 右の図のように、四角形ABCDの外接円が点Aで直線TT'に接している。∠BAT'=45°, ∠DAT'=60°であるとき、∠ADB と ∠BCD を求める。

1. 問題の内容

(1) A, B, C, D, E の5人が横一列に並ぶ並び方の総数と、5人が円形のテーブルに座るときの座り方の総数を求める。

(2) 正六角形の対角線の本数を求める。

(3) 赤玉4個、白玉3個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉2個が取り出される確率を求める。

(4) 1から100までの番号をつけた100枚のカードから1枚を取り出すとき、その番号が2の倍数または3の倍数である確率を求める。

(5) AB=3, CA=5である△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、BD:DC を求める。

(6) 右の図において、PA=3, PB=6, PC=2であるとき、PD を求める。

(7) 右の図のように、四角形ABCDの外接円が点Aで直線TT'に接している。∠BAT'=45°, ∠DAT'=60°であるとき、∠ADB と ∠BCD を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 5人が横一列に並ぶ並び方は、5! 通りである。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

* 5人が円形のテーブルに座る座り方は、(5-1)! 通りである。

$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(2)

* 正n角形の対角線の本数は $n(n-3)/2$ である。

* 正六角形なので、$n=6$ を代入すると、 $6(6-3)/2 = 6 \times 3 / 2 = 9$ 本となる。

(3)

* 赤玉4個、白玉3個の合計7個の玉から2個取り出す組み合わせの総数は、${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りである。

* 赤玉2個を取り出す組み合わせの数は、${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りである。

* したがって、求める確率は、$\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ である。

(4)

* 1から100までの整数のうち、2の倍数は50個、3の倍数は33個である。

* 6の倍数は16個である。

* 2の倍数または3の倍数である数は、50 + 33 - 16 = 67個である。

* したがって、確率は $\frac{67}{100}$ である。

(5)

* 角の二等分線の定理より、BD:DC = AB:AC が成り立つ。

* AB=3, AC=5なので、BD:DC = 3:5 である。

(6)

* 方べきの定理より、PA * PB = PC * PD が成り立つ。

* PA=3, PB=6, PC=2 なので、3 * 6 = 2 * PD

$18 = 2 \times PD$

$PD = \frac{18}{2} = 9$

(7)

* 接弦定理より、∠BAT' = ∠ADB = 45°

* 接弦定理より、∠DAT' = ∠ACD = 60°

* 四角形ABCDは円に内接するので、∠BCD + ∠BAD = 180°

* ∠BAD = ∠BAT' + ∠DAT' = 45°+60°=105°

* ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 105° = 75°

3. 最終的な答え

(1) 120, 24

(2) 9

(3) 2/7

(4) 67/100

(5) 3:5

(6) 9

(7) 45, 75