実数 $a$ が変化するとき、放物線 $y = x^2 - 6ax - 6a$ の頂点 P の軌跡を求める問題です。最終的には、軌跡を表す放物線 $y = \text{ア} x^2 - \text{イ} x$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ に入る数字を答えます。

1. 問題の内容

実数 $a$ が変化するとき、放物線 $y = x^2 - 6ax - 6a$ の頂点 P の軌跡を求める問題です。最終的には、軌跡を表す放物線 $y = \text{ア} x^2 - \text{イ} x$ の $\text{ア}$ と $\text{イ}$ に入る数字を答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線の式を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$y = x^2 - 6ax - 6a$

$y = (x - 3a)^2 - (3a)^2 - 6a$

$y = (x - 3a)^2 - 9a^2 - 6a$

したがって、頂点 P の座標は $(3a, -9a^2 - 6a)$ となります。

頂点 P の座標を $(x, y)$ とおくと、$x = 3a$、$y = -9a^2 - 6a$ となります。

$x = 3a$ より、$a = \frac{x}{3}$ です。

これを $y$ の式に代入すると、

$y = -9 (\frac{x}{3})^2 - 6 (\frac{x}{3})$

$y = -9 (\frac{x^2}{9}) - 2x$

$y = -x^2 - 2x$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、頂点 P の軌跡は放物線 $y = -x^2 - 2x$ です。

ア = -1

イ = 2

最終的な答えは、放物線 $y = -x^2 - 2x$。