$a, b$ は自然数で、$p = a^2 - a + 2ab + b^2 - b$ とする。$p$ が素数となるような $a, b$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は自然数で、$p = a^2 - a + 2ab + b^2 - b$ とする。$p$ が素数となるような $a, b$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$p = a^2 - a + 2ab + b^2 - b$ を因数分解することを試みます。

$p = a^2 + 2ab + b^2 - (a + b) = (a+b)^2 - (a+b) = (a+b)(a+b-1)$

$p$ は素数なので、$(a+b)$ と $(a+b-1)$ のどちらかが $1$ でなければなりません。

$a, b$ は自然数なので、$a+b \ge 2$ です。

したがって、$a+b-1 = 1$ となり、$a+b = 2$ となります。

$a, b$ は自然数なので、$a = 1, b = 1$ である必要があります。

このとき、$p = (1+1)(1+1-1) = 2 \times 1 = 2$ となり、これは素数です。

したがって、$a=1, b=1$ が条件を満たす唯一の解です。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = 1$