円の外部の点Pから円に引いた2本の直線PAとPCについて、線分PA, PB, PC, PDの長さが与えられたとき、線分PCの長さをxとする。xの値を求める問題です。$PA=6\text{cm}$, $AB=4\text{cm}$, $CD=7\text{cm}$。

1. 問題の内容

円の外部の点Pから円に引いた2本の直線PAとPCについて、線分PA, PB, PC, PDの長さが与えられたとき、線分PCの長さをxとする。xの値を求める問題です。$PA=6\text{cm}$, $AB=4\text{cm}$, $CD=7\text{cm}$。

2. 解き方の手順

方べきの定理を使用します。点Pから円に引いた直線と円の交点をA, B, C, Dとするとき、以下の式が成り立ちます。

$PA \times PB = PC \times PD$

ここで、$PA = 6$, $PB = PA + AB = 6 + 4 = 10$, $PC = x$, $PD = PC + CD = x + 7$ です。

これらの値を方べきの定理の式に代入すると、

$6 \times 10 = x \times (x + 7)$

$60 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 60 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x + 12)(x - 5) = 0$

$x = -12$ または $x = 5$

$x$ は線分の長さなので正の値をとります。したがって、$x = 5$ です。

3. 最終的な答え

5 cm