円Oの外の点Pから円に引いた接線PTと、点Pから円Oを通る直線が与えられている。PA = 8 cm, AB = 10 cmであるとき、PTの長さ $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

円Oの外の点Pから円に引いた接線PTと、点Pから円Oを通る直線が与えられている。PA = 8 cm, AB = 10 cmであるとき、PTの長さ $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

円の接線に関する性質「方べきの定理」を用いる。方べきの定理とは、円Oの外部の点Pから円Oに引いた接線PTと、点Pから円Oを通る直線が円と交わる点をA,Bとするとき、$PT^2 = PA \times PB$ が成り立つというものである。

この問題では、$PA = 8$, $AB = 10$ なので、$PB = PA + AB = 8 + 10 = 18$ である。

したがって、

$PT^2 = PA \times PB$

$x^2 = 8 \times 18$

$x^2 = 144$

$x = \sqrt{144}$

$x = 12$

3. 最終的な答え

12 cm