与えられた3つの関数について、その連続性を調べます。 (1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$ (ただし$f(0)=0$) (2) $-1 \le x \le 2$ で $f(x) = \log_{10} \frac{1}{|x|}$ ($x \neq 0$), $f(0)=0$ (3) $0 \le x \le 2\pi$ で $f(x) = [\cos x]$ (ただし、[]はガウス記号)

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、その連続性を調べます。

(1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1}$ (ただし$f(0)=0$)

(2) $-1 \le x \le 2$ で $f(x) = \log_{10} \frac{1}{|x|}$ ($x \neq 0$), $f(0)=0$

(3) $0 \le x \le 2\pi$ で $f(x) = [\cos x]$ (ただし、[]はガウス記号)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x+1}{x^2-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{x-1}$ (ただし$x \neq -1$)

定義域は$x \neq \pm 1$ です。

$x=-1$では定義されていませんが、$x \neq -1$の場合、$f(x) = \frac{1}{x-1}$ となります。

$x=1$では定義されていません。

$x \neq \pm 1$のとき、$f(x)$は連続です。

$x=0$のとき、$f(0) = 0$と定義されています。しかし、$x$が0に近いとき、$f(x) = \frac{1}{x-1}$なので$f(x)$は-1に近づきます。したがって、$x=0$で不連続です。

$x=-1$のとき、$x=-1$の近くで、$x \neq -1$の場合、$f(x)=\frac{1}{x-1}$であり、$x=-1$に近づけると、$f(x)$は$-1/2$に近づきます。

したがって、定義域は $x \neq \pm 1$ であり、$x=1$で不連続、$x=0$でも不連続。

(2) $f(x) = \log_{10} \frac{1}{|x|}$ ($x \neq 0$) , $f(0)=0$

$-1 \le x \le 2$ で考えます。

$x \neq 0$ のとき、$f(x)$ は連続です。$x=0$で$|x| \to 0$ なので、$\frac{1}{|x|} \to \infty$ となり、$f(x) \to \infty$ です。

したがって、$x=0$ で不連続です。

定義域は$-1 \le x \le 2$ ただし $x \neq 0$

(3) $f(x) = [\cos x]$ (ただし、[]はガウス記号)

$0 \le x \le 2\pi$ で考えます。

$\cos x$ は連続関数ですが、ガウス記号によって不連続点が生じます。

$\cos x = n$ (nは整数)となるxの値が不連続点の候補です。

$-1 \le \cos x \le 1$ なので、n = -1, 0, 1 となります。

$\cos x = 1$ となるのは $x = 0, 2\pi$

$\cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\cos x = -1$ となるのは $x = \pi$

したがって、$x = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ が不連続点の候補です。

3. 最終的な答え

(1) 定義域は$x \neq \pm 1$。$x=1$と$x=0$で不連続。

(2) $x=0$で不連続。

(3) $x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$で不連続。また、$x=0, 2\pi$でも不連続。