与えられた3つの数 $ \log_{\frac{1}{2}}5 $, $ \log_{\frac{1}{2}}3 $, および $ 2 $ の大小関係を比較します。

1. 問題の内容

与えられた3つの数 $\log_{\frac{1}{2}}5$, $\log_{\frac{1}{2}}3$, および $2$ の大小関係を比較します。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、これらの数を比較しやすい形に変換します。

* $\log_{\frac{1}{2}}5$

* $\log_{\frac{1}{2}}3$

* $2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$

底が $\frac{1}{2}$ であるため、真数が大きいほど対数の値は小さくなります。

つまり、$x > y$ ならば $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} y$ となります。

したがって、真数 $5$, $3$, $\frac{1}{4}$ の大小関係を調べます。

$5 > 3 > \frac{1}{4}$ であるから、$\log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$。

よって、$\log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3 < 2$となります。

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{2}} 5 < \log_{\frac{1}{2}} 3 < 2$