以下の3つの値を小さい順に並べる問題です。 $\log_{\frac{1}{2}}5$, $\log_{\frac{1}{2}}3$, $2$

1. 問題の内容

以下の3つの値を小さい順に並べる問題です。

$\log_{\frac{1}{2}}5$, $\log_{\frac{1}{2}}3$, $2$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して各値を比較しやすい形に変形します。

対数の底が1より小さい場合、真数が大きいほど対数の値は小さくなることに注意します。

$\log_{\frac{1}{2}}5$ について考えます。$\frac{1}{2}$ は0と1の間にあるので、真数が大きいほど値は小さくなります。

$2$ を $\log_{\frac{1}{2}}$ の形で表します。

$2 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^2 = \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$

$\log_{\frac{1}{2}}5$, $\log_{\frac{1}{2}}3$, $\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$ の真数部分を比較します。

$\frac{1}{4} < 3 < 5$

底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、対数の値の大小関係は真数の大小関係と逆になります。

$\log_{\frac{1}{2}}5 < \log_{\frac{1}{2}}3 < \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$

したがって、

$\log_{\frac{1}{2}}5 < \log_{\frac{1}{2}}3 < 2$

3. 最終的な答え

$\log_{\frac{1}{2}}5 < \log_{\frac{1}{2}}3 < 2$