(1) $n+1 P_3$ の値を求めよ。ただし、$n$ は 2 以上の整数とする。 (2) $_{2n+1}C_{2n-1}$ の値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

1. 問題の内容

(1) $n+1 P_3$ の値を求めよ。ただし、$n$ は 2 以上の整数とする。

(2) $_{2n+1}C_{2n-1}$ の値を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

2. 解き方の手順

(1) 順列の公式 $n P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ を利用する。

$n+1 P_3 = \frac{(n+1)!}{(n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{(n-2)!} = (n+1)n(n-1)$

展開すると、

$n+1 P_3 = (n+1)n(n-1) = n(n^2-1) = n^3 - n$

(2) 組み合わせの公式 $n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を利用する。

$_{2n+1}C_{2n-1} = \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!(2n+1-(2n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!2!} = \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)!}{(2n-1)!2!} = \frac{(2n+1)(2n)}{2} = (2n+1)n = 2n^2 + n$

3. 最終的な答え

(1) $n^3 - n$

(2) $2n^2 + n$