赤、緑、青のカードがそれぞれ1から5の数字で5枚ずつ、合計15枚ある。この中から5枚のカードを抜き出すとき、以下の条件を満たす場合の数を求める。ただし、同じ数字の組み合わせでも色が異なれば異なる組として数える。 (1) カードの数字が2種類である場合の数 (2) カードの色が2種類である場合の数

1. 問題の内容

赤、緑、青のカードがそれぞれ1から5の数字で5枚ずつ、合計15枚ある。この中から5枚のカードを抜き出すとき、以下の条件を満たす場合の数を求める。ただし、同じ数字の組み合わせでも色が異なれば異なる組として数える。

(1) カードの数字が2種類である場合の数

(2) カードの色が2種類である場合の数

2. 解き方の手順

(1) カードの数字が2種類の場合

* まず、2種類の数字の選び方を求める。1から5の数字の中から2つを選ぶので、その組み合わせは ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

* 次に、選んだ2つの数字で5枚のカードを構成する方法を考える。それぞれの数字は少なくとも1枚は必要。それぞれの数字の枚数を $x, y$ とすると、$x+y=5$ であり、$x \ge 1, y \ge 1$ を満たす整数解の個数を求める。$x' = x-1, y' = y-1$ とおくと、$x'+1+y'+1=5$ より $x'+y'=3$ となる。$x' \ge 0, y' \ge 0$ なので、この整数解の個数は $3+2-1 C_{2-1} = {}_4C_1 = 4$ 通り。($x, y$ の組み合わせは (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) )

* 各数字の色の選び方を考える。それぞれの数字に対して3色（赤、緑、青）のカードがある。

* $x$ 枚の数字の色の選び方は $3^x$ 通り。

* $y$ 枚の数字の色の選び方は $3^y$ 通り。

* 合計すると、$10 \times (3^1 \times 3^4 + 3^2 \times 3^3 + 3^3 \times 3^2 + 3^4 \times 3^1) = 10 \times (3^5 + 3^5 + 3^5 + 3^5) = 10 \times 4 \times 243 = 9720$ 通り。

* ただし、全て同じ数字になるパターンは除く必要がある。しかし、$x+y=5$で、少なくともそれぞれの数字が1枚以上必要なので、同じ数字だけになることはない。

(2) カードの色が2種類の場合

* まず、2色の選び方を求める。3色の中から2色を選ぶので、${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

* 次に、選んだ2色で5枚のカードを構成する方法を考える。それぞれの色は少なくとも1枚は必要。それぞれの色の枚数を $x, y$ とすると、$x+y=5$ であり、$x \ge 1, y \ge 1$ を満たす整数解の個数を求める。$x' = x-1, y' = y-1$ とおくと、$x'+1+y'+1=5$ より $x'+y'=3$ となる。$x' \ge 0, y' \ge 0$ なので、この整数解の個数は $3+2-1 C_{2-1} = {}_4C_1 = 4$ 通り。($x, y$ の組み合わせは (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) )

* 各色の数字の選び方を考える。それぞれの色に対して5つの数字のカードがある。

* $x$ 枚の色の数字の選び方は $5^x$ 通り。

* $y$ 枚の色の数字の選び方は $5^y$ 通り。

* 合計すると、$3 \times (5^1 \times 5^4 + 5^2 \times 5^3 + 5^3 \times 5^2 + 5^4 \times 5^1) = 3 \times (5^5 + 5^5 + 5^5 + 5^5) = 3 \times 4 \times 3125 = 37500$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) カードの数字が2種類の場合：9720通り

(2) カードの色が2種類の場合：37500通り