$\triangle ABC$ において、$\frac{\sin A}{6} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{4}$ が成り立つとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\cos A$ と $\sin A$ を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ の内接円の半径が1であるとき、$AB$ の長さ、$\triangle ABC$ の面積、$\triangle ABC$ の外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\frac{\sin A}{6} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{4}$ が成り立つとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\cos A$ と $\sin A$ を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径が1であるとき、$AB$ の長さ、$\triangle ABC$ の面積、$\triangle ABC$ の外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sin A}{6} = \frac{\sin B}{5} = \frac{\sin C}{4} = k$ とおくと、

$\sin A = 6k$, $\sin B = 5k$, $\sin C = 4k$ となる。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ なので、

$a = 6l$, $b = 5l$, $c = 4l$ （$l$ は正の定数）とおける。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5l)^2 + (4l)^2 - (6l)^2}{2 \cdot 5l \cdot 4l} = \frac{25l^2 + 16l^2 - 36l^2}{40l^2} = \frac{5l^2}{40l^2} = \frac{1}{8}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$\sin A > 0$ より、$\sin A = \sqrt{\frac{63}{64}} = \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、$r=1$ である。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 5l \cdot 4l \cdot \frac{3\sqrt{7}}{8} = \frac{15\sqrt{7}}{4}l^2$

また、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (6l + 5l + 4l) = \frac{15}{2}l$

したがって、$\frac{15\sqrt{7}}{4}l^2 = \frac{15}{2}l$ より、$\frac{\sqrt{7}}{4}l = \frac{1}{2}$

$l = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

$AB = c = 4l = 4 \cdot \frac{2\sqrt{7}}{7} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

$S = \frac{15}{2}l = \frac{15}{2} \cdot \frac{2\sqrt{7}}{7} = \frac{15\sqrt{7}}{7}$

外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より、

$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{6l}{6k} = \frac{l}{k}$

また、$\sin A = 6k = \frac{3\sqrt{7}}{8}$ より、$k = \frac{\sqrt{7}}{16}$

$2R = \frac{l}{k} = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{7}}{\frac{\sqrt{7}}{16}} = \frac{2\sqrt{7}}{7} \cdot \frac{16}{\sqrt{7}} = \frac{32}{7}$

$R = \frac{16}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{1}{8}$, $\sin A = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

(2) $AB = \frac{8\sqrt{7}}{7}$, $\triangle ABC$ の面積 $= \frac{15\sqrt{7}}{7}$, $\triangle ABC$ の外接円の半径 $= \frac{16}{7}$