直角三角形ABCにおいて、$∠A=90°$である。$∠A$の二等分線と辺BCの交点をEとする。$∠C$の二等分線と線分AEの交点をOとする。$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$であるとき、$∠B$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$∠A=90°$である。$∠A$の二等分線と辺BCの交点をEとする。$∠C$の二等分線と線分AEの交点をOとする。$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$であるとき、$∠B$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$∠A$の二等分線であることから、$∠BAE = ∠CAE = 45°$である。

次に、角の二等分線の性質より、三角形ABCにおいて、

$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$

三角形AECにおいて、COは$∠C$の二等分線であるから、

$\frac{AO}{OE}=\frac{AC}{EC}$

ここで、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$であるから、

$\frac{AC}{EC} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

よって、$EC = \frac{2AC}{\sqrt{3}+1}$

$EC = \frac{2AC(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

$EC = \frac{2AC(\sqrt{3}-1)}{2}$

$EC = (\sqrt{3}-1)AC$

$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}$より、$BE = BC - EC = BC - (\sqrt{3}-1)AC$となる。

$\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC} = \frac{BC - EC}{EC} = \frac{BC}{EC} - 1$

ここで、$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$である。

$\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{(\sqrt{3}-1)AC}-1 = \frac{\sqrt{(\frac{AB}{AC})^2 + 1}}{\sqrt{3}-1}-1$

$x = \frac{AB}{AC}$とおくと、

$x = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{3}-1} - 1$

$x+1 = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{3}-1}$

$(x+1)(\sqrt{3}-1) = \sqrt{x^2+1}$

両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 (\sqrt{3}-1)^2 = x^2+1$

$(x^2+2x+1) (3-2\sqrt{3}+1) = x^2+1$

$(x^2+2x+1) (4-2\sqrt{3}) = x^2+1$

$4x^2+8x+4-2\sqrt{3}x^2-4\sqrt{3}x-2\sqrt{3} = x^2+1$

$(3-2\sqrt{3})x^2 + (8-4\sqrt{3})x + (3-2\sqrt{3}) = 0$

$x^2 + \frac{8-4\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}x+1=0$

$x^2+2\sqrt{3}x+1 = 0$

$x = -\sqrt{3}\pm \sqrt{2}$

$\angle B = \theta$とすると、$tan(\theta) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}\pm\sqrt{2}}$

$x = \frac{1}{tanB}$

$\frac{AB}{AC}=\sqrt{3}$だから、$tan(C) = \sqrt{3}$であるから、$C = 60^\circ$となる。

よって、$B = 30^\circ$である。

$BC = BE+EC$であり、また、BE/EC = AB/ACである。

3. 最終的な答え

∠B = 75°