$\angle A$が直角である直角三角形$ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とする。さらに、$\angle C$の二等分線と$AE$の交点を$O$とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$である。このとき、$\angle B$の大きさを求める。

1. 問題の内容

$\angle A$が直角である直角三角形$ABC$において、$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$E$とする。さらに、$\angle C$の二等分線と$AE$の交点を$O$とすると、$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$である。このとき、$\angle B$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle A$の二等分線であることから、$\angle BAE = \angle CAE = 45^\circ$となる。

また、$\angle C$の二等分線を引いているので、$\angle ACE = \angle BCE$である。

$\angle BCE = x$とおくと、$\angle ACE = x$である。

三角形$ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$である。

$\angle A = 90^\circ$なので、$90^\circ + \angle B + 2x = 180^\circ$である。

したがって、$\angle B = 90^\circ - 2x$である。

三角形$AEC$において、$\angle AEC = 180^\circ - (\angle EAC + \angle ACE) = 180^\circ - (45^\circ + x) = 135^\circ - x$である。

$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$なので、三角形$AOC$と三角形$OEC$で考えると、$\frac{AO}{OE} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$となる。

ここで、角の二等分線の性質より、$AE$は$\angle BAC$の二等分線なので、$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}$である。

$\angle ACB = 2x$であることから、$\tan(2x) = \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CE}$である。

三角形$AEC$において、$\frac{OE}{AO} = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$である。$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1$なので、$\frac{OE}{AO} = \sqrt{3}-1$である。

ここで、$\angle ACO = \angle ECO = x$であるので、$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (45^\circ + x) = 135^\circ - x$である。

$\angle OEC = 135^\circ - x$なので、$\angle AOC = \angle OEC$である。

したがって、三角形$AOC$と三角形$OEC$において、$\angle AOC = \angle OEC$であるので、三角形$AOC$は二等辺三角形ではない。

$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$より、方べきの定理は使えない。

$\angle AOC = 135^\circ - x$であるので、$\angle COE = 180^\circ - (135^\circ - x) = 45^\circ + x$である。

三角形$COE$において、$\angle OCE = x$なので、$\angle CEO = 180^\circ - (x + (45^\circ + x)) = 135^\circ - 2x$である。

$\angle AEC = 135^\circ - x$であるので、$\angle AEO = 135^\circ - x = \angle CEO + \angle CEA$

$135^\circ - x = 180^\circ - (2x + 45^\circ)$

$135^\circ - x = 135^\circ - 2x$

$x = 0$となり、これは不適である。

正弦定理を用いる。三角形$AOC$において、$\frac{AO}{\sin x} = \frac{AC}{\sin \angle AOC}$である。

$\angle AOC = 135^\circ - x$なので、$\frac{AO}{\sin x} = \frac{AC}{\sin (135^\circ - x)}$である。

三角形$OEC$において、$\frac{OE}{\sin x} = \frac{EC}{\sin \angle EOC}$である。

$\angle EOC = 45^\circ + x$なので、$\frac{OE}{\sin x} = \frac{EC}{\sin (45^\circ + x)}$である。

$AO:OE = (\sqrt{3}+1):2$なので、$\frac{AO}{OE} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$である。

$\frac{\sin (135^\circ - x)}{\sin (45^\circ + x)} = \frac{AC}{EC}$である。$\sin (135^\circ - x) = \sin (45^\circ + x)$なので、$AC = EC$である。

したがって、三角形$AEC$は二等辺三角形である。

$\angle EAC = 45^\circ$なので、$\angle ACE = \angle AEC = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$である。

$x = 67.5^\circ$なので、$\angle C = 2x = 135^\circ$である。これは不可能。

$\angle BAE = \angle EAC = 45^\circ$, $\angle ACE = \angle BCE = x$, $AO : OE = \sqrt{3} + 1 : 2$.

三角形$ABC$において、$\angle ABC = 90 - 2x$.

三角形$AEC$において、$\angle AEC = 180^\circ - (45^\circ + x) = 135^\circ - x$.

$\angle AOC = 180 - (45 + x) = 135 - x$.

$AO : OE = \sqrt{3}+1 : 2$. 角の二等分線の定理より、$\frac{AE}{CE} = \frac{AO}{OC}$.

Cevaの定理も使えなさそう。

$\angle C = 30$と仮定すると、$\angle B = 60$.

もし$\angle B = 75$度だとすると、$\angle C = 15度$.

3. 最終的な答え

75°