袋の中に8個の玉が入っており、そのうち3個は赤玉、5個は白玉である。この中から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に8個の玉が入っており、そのうち3個は赤玉、5個は白玉である。この中から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である確率は、全て赤玉である確率の余事象として求めることができる。

まず、8個の玉から3個の玉を取り出す場合の総数を計算する。これは組み合わせで表され、 $_8 C_3$ で計算できる。

$_8 C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、3個とも赤玉を取り出す場合の数を計算する。これは、3個の赤玉から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_3 C_3$ で計算できる。

$_3 C_3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、3個とも赤玉である確率は、 $\frac{1}{56}$ である。

少なくとも1個が白玉である確率は、1から3個とも赤玉である確率を引いたものである。

$P(\text{少なくとも1個白玉}) = 1 - P(\text{全て赤玉}) = 1 - \frac{1}{56} = \frac{55}{56}$

3. 最終的な答え

$\frac{55}{56}$