数列 $a_n$ が $a_n = \frac{n^n}{n!}$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ、または発散することを示せ。ここでは、数列の収束・発散を議論することが求められています。

承知いたしました。問題とその解答を以下に示します。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = \frac{n^n}{n!}$ で定義されるとき、この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ、または発散することを示せ。ここでは、数列の収束・発散を議論することが求められています。

2. 解き方の手順

比判定法を用いて、数列が発散することを示します。

$a_n = \frac{n^n}{n!}$ に対して、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1)n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e$ となります。$e \approx 2.718 > 1$ です。

したがって、$n$ が十分大きいとき $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ となり、$a_{n+1} > a_n$ です。

よって、数列 $a_n$ は単調増加であり、$a_n$ は発散します。より厳密には、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e > 1$ であるため、$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ (発散)