数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$ で与えられています。この数列について、どのような性質を調べたいか、あるいは何を計算したいのかが不明です。ここでは、この数列の極限を求めることを目標とします。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$ で与えられています。この数列について、どのような性質を調べたいか、あるいは何を計算したいのかが不明です。ここでは、この数列の極限を求めることを目標とします。

2. 解き方の手順

数列の極限を調べるために、比 $a_{n+1}/a_n$ を計算し、その極限を調べます。

$a_{n+1} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)^{n+1}}$ より、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^{n^2}} = \frac{2^{(n+1)^2-n^2}}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{2^{n^2+2n+1-n^2}}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = \frac{2^{2n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n = 2^{2n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2^{2n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n(n+1)} = 2^{2n+1} \cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n(n+1)} = \frac{2^{2n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n(n+1)}$

ここで、$n \to \infty$ のとき、$(1+\frac{1}{n})^n \to e$ であるので、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{2n+1}}{(1+\frac{1}{n})^n(n+1)} \approx \frac{4^n \cdot 2}{e(n+1)}$

$n \to \infty$ のとき、$4^n$ は $n+1$ よりはるかに早く増加するため、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \infty$ となります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \infty > 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$