与えられた4つの数列の極限を求める問題です。 (1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ (2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$ (3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$ (4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数列の極限を求める問題です。

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

(2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$

(3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$

(4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であり、$-1 \le (-1)^n \le 1$ であるため、$\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ となります。

(2) $a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1)$

$\sqrt{1-\frac{1}{n}} = (1-\frac{1}{n})^{\frac{1}{2}}$ に対して、テイラー展開（もしくはマクローリン展開）を用いると、

$\sqrt{1-\frac{1}{n}} \approx 1 - \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} - ...$

$a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1) \approx n(1-\frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} - ... - 1) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{8n} - ...$

$n \to \infty$ のとき、$a_n \to -\frac{1}{2}$

厳密には、

$a_n = n(\sqrt{1-\frac{1}{n}}-1) = n\frac{(1-\frac{1}{n})-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{-1}{\sqrt{1-0}+1} = -\frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{n^n}{n!}$

$a_n = \frac{n \cdot n \cdot n \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n} = \frac{n}{1} \cdot \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{3} \cdot ... \cdot \frac{n}{n}$

$n \to \infty$ のとき、明らかに $a_n \to \infty$

数列の比を考えると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n(n+1)}{(n+1)n!} \cdot \frac{n!}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n = (1 + \frac{1}{n})^n \to e > 1$

なので、$a_n$ は発散する。

(4) $a_n = \frac{2^{n^2}}{n^n}$

数列の比を考えると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^{n^2}} = \frac{2^{n^2 + 2n + 1}}{2^{n^2}} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2^{2n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{2^{2n+1}}{n+1} \cdot (\frac{n}{n+1})^n = \frac{2^{2n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(1+\frac{1}{n})^n \to e$ であり、$2^{2n+1}$ は指数関数的に増加し、$n+1$ は線形的に増加するので、$\frac{2^{2n+1}}{n+1} \to \infty$

したがって、$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \infty > 1$ なので、$a_n \to \infty$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $\infty$

(4) $\infty$