与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ を微分することを考えます。

$$\frac{d}{dx}(x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$$

被積分関数を部分分数分解することを考えます。被積分関数は

$$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

部分積分の公式

$$\int u' v dx = uv - \int u v' dx$$

を利用することを考えます。

まず、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{-\sin x (x \sin x + 9 \cos x) - \cos x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{-x \sin^2 x - 9 \sin x \cos x - x \cos^2 x + 8 \sin x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{-x - \sin x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

ここで、

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{\cos x (x \sin x + 9 \cos x) - \sin x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{x \sin x \cos x + 9 \cos^2 x - x \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{9 \cos^2 x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{-x - \sin x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 + 81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 \sin^2 x + x^2 \cos^2 x + 81 \cos^2 x + 81 \sin^2 x - 9 \sin^2 x - 9 \cos^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{(x \sin x + 9 \cos x)^2 - 18 x \sin x \cos x - 81 \cos^2 x + 9 \cos^2 x + 9 x \sin x \cos x - x^2 \sin^2 x - 81 \sin^2 x + 9 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{(x \cos x - 8 \sin x) (ax+b)}{x \sin x + 9 \cos x}$$

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x \cos x - 8 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \frac{x \sin x + 9 \cos x}{x \cos x - 8 \sin x} \frac{1}{\cos x} dx$$

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \frac{9 \sin x - x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$$

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{9 \sin x - x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{(9 \cos x - \cos x + x \sin x) (x \sin x + 9 \cos x) - (9 \sin x - x \cos x) (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$= \frac{8 x \sin^2 x + 72 \cos^2 x - x^2 \cos x + 9 x - 9 (9 \cos x - 8 \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{8 \cos x (x \sin x + 9 \cos x) + x \cos x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$$

$$\int \frac{x^2+72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx = \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$