与えられた積分を計算します。 $$ \int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、分子を次のように変形します。

$$x^2 + 72 = x^2 + 81 - 9 = (x^2 + 81) - 9$$

積分を次のように書き換えます。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x^2 + 81 - 9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

$$= \int \frac{x^2 + 81}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx - \int \frac{9}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$$

ここで、$u = x \sin x + 9 \cos x$とおくと、

$$\frac{du}{dx} = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$$

被積分関数を部分積分に適した形に変形します。

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} dx$$

$$\int \frac{x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} dx = \frac{9 \sin x - x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$$

ここで、$f(x) = \frac{9 \sin x - x \cos x}{x \sin x + 9 \cos x}$を微分すると

$f'(x) = \frac{(9\cos x - \cos x + x \sin x)(x \sin x + 9 \cos x) - (9 \sin x - x \cos x)(\sin x + x\cos x - 9 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$f'(x) = \frac{(8\cos x + x \sin x)(x \sin x + 9 \cos x) - (9 \sin x - x \cos x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 \sin^2 x + 72\cos^2 x + x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}dx = \frac{- x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$$