問題は2つの部分からなります。 (1) 不定積分 $\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。 (2) 定積分 $\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの部分からなります。

(1) 不定積分 $\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。

(2) 定積分 $\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分の計算

$\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$

まず、それぞれの項を積分します。

$\int -\frac{1}{2}x^2 dx = -\frac{1}{2} \int x^2 dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{1}{6}x^3$

$\int 3 dx = 3x$

したがって、

$\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = -\frac{1}{6}x^3 + 3x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

(2) 定積分の計算

$\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx$

まず、不定積分を計算します (上記(1)参照)。

$F(x) = -\frac{1}{6}x^3 + 3x$

次に、定積分の定義に従い、上限値と下限値を代入して引き算を行います。

$\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = F(2) - F(-1)$

$F(2) = -\frac{1}{6}(2)^3 + 3(2) = -\frac{8}{6} + 6 = -\frac{4}{3} + 6 = \frac{-4 + 18}{3} = \frac{14}{3}$

$F(-1) = -\frac{1}{6}(-1)^3 + 3(-1) = \frac{1}{6} - 3 = \frac{1 - 18}{6} = -\frac{17}{6}$

$F(2) - F(-1) = \frac{14}{3} - (-\frac{17}{6}) = \frac{14}{3} + \frac{17}{6} = \frac{28 + 17}{6} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = -\frac{1}{6}x^3 + 3x + C$

(2) $\int_{-1}^{2} (-\frac{1}{2}x^2 + 3) dx = \frac{15}{2}$