$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$ であることを示す。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$ であることを示す。

2. 解き方の手順

この極限を証明するために、自然対数を利用します。

まず、$y = (1+\frac{1}{x})^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln{y} = \ln{(1+\frac{1}{x})^x}$

$\ln{y} = x \ln{(1+\frac{1}{x})}$

ここで、$x \to \infty$ のときの $\ln{y}$ の極限を考えます。

$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = \lim_{x \to \infty} x \ln{(1+\frac{1}{x})}$

この極限は $\infty \cdot 0$ の不定形なので、$\frac{0}{0}$ の形に変形するために、次のように書き換えます。

$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln{(1+\frac{1}{x})}}{\frac{1}{x}}$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln{(1+t)}}{t}$

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln{(1+t)}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t}$

$t \to 0$ のとき、$\frac{1}{1+t} \to \frac{1}{1+0} = 1$ となるので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln{(1+t)}}{t} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \ln{y} = 1$

$\ln{y}$ の極限が1であることから、$y$ の極限は $e^1 = e$ となります。

$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$

つまり、

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$