$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を証明してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ を証明してください。

2. 解き方の手順

まず、$y = (1 + \frac{1}{x})^x$とおき、両辺の自然対数をとります。

$$\ln y = \ln (1 + \frac{1}{x})^x$$

$$\ln y = x \ln (1 + \frac{1}{x})$$

次に、$x \to \infty$としたときの$\ln y$の極限を考えます。

$$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} x \ln (1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$のとき、$t \to 0$となるので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$$

この極限は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができます。

$$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t} = 1$$

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \ln y = 1$$

両辺の指数関数をとると、

$$\lim_{x \to \infty} y = e^1 = e$$

よって、

$$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$